Home  ›  Matematika

Tabel Kebenaran Logika Matematika: Negasi, Konjungsi, Disjungsi, dan Ekuivalensi

"Tabel kebenaran logika matematika: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, NAND, NOR, XOR, contoh soal tabel kebenaran dan gambarnya"

135 min read
Tabel Kebenaran - Kemarin kita sudah membahas materi logika matematika lainnya tentang pernyataan dan contoh kalimat terbuka serta operator logika. Di artikel tersebut, kita sudah melihat beberapa contoh tabel kebenaran operator logika dasar seperti negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.

Tabel Kebenaran Logika Matematika: Negasi, Konjungsi, Disjungsi, dan Ekuivalensi
Tabel Kebenaran Logika Matematika: Negasi, Konjungsi, Disjungsi, dan Ekuivalensi

Pada kesempatan hari ini, kita akan membahas lebih jauh tentang tabel kebenaran dalam logika matematika dan contoh soalnya. Selain itu, kita menambah beberapa tabel kebenaran seperti X-OR, NOR, dan NAND, yang akan sangat membantu dalam belajar gerbang logika nantinya.

Apa itu Tabel Kebenaran?


Pengertian tabel kebenaran adalah suatu tabel matematika yang digunakan untuk membuktikan kebenaran dari nilai akhir suatu pernyataan. Bisa dikatakan, tabel kebenaran berfungsi sebagai tabel bantu untuk menyelesaikan soal-soal logika matematika lebih cepat dan mudah.

Tabel kebenaran dilambangkan dengan simbol-simbol khusus yang menunjukkan nilai benar atau salah dari suatu pernyataan. Benar atau salah adalah logika dalam matematika dan juga digunakan dalam pemrograman sebagai tipe data boolean yang berfungsi untuk mengambil keputusan selanjutnya.

Jika nilai akhir adalah benar maka dilambangkan dengan B (Benar). Sebagian buku juga menggunakan lambang T (True) dan 1. Sama saja.

Jika nilai akhir adalah salah maka dilambangkan dengan S (Salah). Ada juga yang menuliskannya dengan lambang F (False) dan 0. Semua ok. Asal konsisten. Sekali B ya pasangannnya S. Atau sekali T ya pasangannya adalah F.

Bagaimana cara membuat tabel kebenaran?


Good question! Membuat tabel kebenaran logika matematika sangat sederhana. Kita hanya perlu mengetahui berapa banyak variabel yang akan digunakan. Banyaknya variabel menunjukkan sifat-sifat dari pernytaan-pernyataan tersebut jika dibolak-balik.

Variabel maksud saya adalah jumlah pernyataan yang ada. Misalnya dua variabel artinya kita memiliki dua pernyataan yaitu, p dan q.

Rumus untuk menentukan jumlah data dalam tabel adalah:

2x dengan x adalah jumlah variabel.

Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat di bawah ini!

- Tabel kebenaran 2 variabel

Untuk membuat tabel kebenaran dua variabel (tabel kebenaran p q) kita menggunakan rumus:

22 = 4 baris

p
q
 B
B 
 B
S 
 S
B 
 S
B 

- Tabel kebenaran p q r (3 variabel)

23 = 8 baris

p
q
r
B 
B 
B 
 B
B 
S 
 B
S 
B 
 B
S 
S 
 S
B 
B 
 S
B 
S 
 S
S 
B 
 S
S 
S 

- Tabel kebenaran p q r s (4 variabel)

24 = 16 baris

p
q
r
s
B
B
B
B
B
B
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
B
S
B
B
B
S
B
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
B
B
B
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S

- Tabel kebenaran p q r s t (5 variabel)

25 = 32 baris

Selengkapnya silahkan buat sendiri tabelnya.

Jika 6 variabel maka 26 = 64 baris
Jika 7 variabel maka 27 = 128 baris
Jika 8 variabel maka 28 = 256 baris

Tabel Kebenaran Logika Matematika


Pada bagian atas hanya sebagai intro saja. Saatnya untuk masuk ke materi utamanya, yaitu tabel kebenaran dari setiap operator logika.
  1. Negasi (Not)
    2.  Operator negasi adalah operator logika matematika yang berfungsi sebagai pembalik. Inputannya selalu berbeda dari outputnya. 
    Tabel kebenaran negasi
    p~p
    BS
    SB
    Contoh negasi p: Saya tidak bangun tepat waktu ~p: Saya bangun tepat waktu
  1. Konjungsi (And)
    2.  Konjungsi adalah operator logika matematika yang menggunakan kata hubung "dan" untuk menghubungkan pernytaan atau premis yang ada. 
    Tabel kebenaran konjungsi
    pqp ∧  q
    BBB
    BSS
    SBS
    SSS
    Sifat tabel konjungsi:
    • Jika kedua pernyataan benar (B) maka hasilnya juga adalah (B)
    • Jika salah satu pernyataan salah (S) maka otomatis kesimpulannya juga adalah (S).
    Untuk lebih jelasnya, saya memperkenalkan bentuk contoh soal tabel kebenaran yang paling utama dan pertama diperkenalkan ketika belajar matematika informatika atau elektronika digital. 
    Contoh soal membuat tabel negasi konjungsi.
    p
    q
    p ∧ q
    ~p
    ~q
    ~p ∧ ~q
    B
    B
    B
    S
    S
    S
    B
    S
    S
    S
    B
    B
    S
    B
    S
    B
    S
    B
    S
    S
    S
    B
    B
    B
    Contoh kalimat terbuka konjungsi 
    p: Saya seorang bos 
    q: Saya bekerja di rumah 
    p ∧ q: Saya seorang penulis blog dan bekerja di rumah. 
    p ∧ ~q: Saya seorang bos dan tidak bekerja di rumah. 
    ~p ∧ q: Saya bukan seorang bos dan bekerja di rumah. 
    ~p ∧ ~q: Saya bukan seorang bos dan saya tidak bekerja di rumah.
  1. Disjungsi (Or)
    2.  Disjungsi adalah operator logika yang menggunakan kata hubung "atau" untuk menghubungkan pernyataan. 
    Tabel kebenaran disjungsi:
    pqp ∨  q
    BBB
    BSB
    SBB
    SSS
    Sifat disjungsi:
    • Jika salah satu pernyataan benar (B) maka hasilnya akan benar (B)
    • Jika semua pernyataan salah (S) dan (S) maka hasilnya juga akan salah (S)
    Sekali lagi, untuk memudahkan kamu, kamu bisa melihat contoh soal tabel kebenaran tiga variabel di bawah ini menggunakan operator logika disjungsi. Buatlah tabel kebenaran dari (p v q) v r! Jawaban:
    p
    q
    r
    (p v q)
    (p v q) v r
    B
    B
    B
    B
    B
    B
    B
    S
    B
    B
    B
    S
    B
    B
    B
    B
    S
    S
    B
    B
    S
    B
    B
    B
    B
    S
    B
    S
    B
    B
    S
    S
    B
    S
    B
    S
    S
    S
    S
    S
    Contoh kalimat terbuka disjungsi: p: Saya akan berlibur q: Saya stress p v q: Saya akan berlibur atau saya stress
  1. Implikasi (If ... Then ...)
    2.  Implikasi adalah operator logika yang menghubungkan pernyataan dengan kata hubung "Jika ... maka ...". 
    Tabel kebenaran implikasi:
    pqp ⇒ q
    BBB
    BSS
    SBB
    SSB
    Sifat implikasi:
    • Jika pernyataan pertama benar (B) dan pernyataan kedua atau terakhir salah (S) maka kesimpulannya salah (S).
    • Selain itu, sifat dari implikasi semuanya benar.
    Sedikit informasi aja, operator logika implikasi adalah satu-satunya operator logika yang tidak ekuivalen jika pernyataan-pernyataannya dibolak-balik. Sebaliknya, implikasi ketika premis-premisnya dibalik akan menghasilkan sifat baru yang disebut konvers, invers dan kontraposisi. a. Implikasi: p ⇒ q 
    p: Saya bekerja keras 
    q: Saya sukses 
    p=>q: Jika saya bekerja keras maka saya sukses 
    b. Invers : ∼p ⇒ ∼q 
    ~p: Saya tidak bekerja keras 
    ~q: Saya tidak sukses 
    ~p=>~q: Jika saya tidak bekerja keras maka saya tidak sukses 
    c. Konvers : q ⇒ p 
    p: Saya bekerja keras 
    q: Saya sukses 
    q=>p: Jika saya sukses maka saya bekerja keras 
    d. Kontraposisi∼q ⇒ ∼p 
    ~p: Saya tidak bekerja keras 
    ~q: Saya tidak sukses 
    ~q=>~p: Jika saya tidak sukses maka saya tidak bekerja keras
  1. Biimplikasi
    2.  Biimplikasi adalah operator logika yang juga disebut sebagai bikondisinoal. Akan bernilai benar kalau kedua inputan atau pernyataan sama. 
    Gambar tabel kebenaran biimplikasi
    pqp <=> q
    BBB
    BSS
    SBS
    SSB
    Berdasarkan tabel biimlikasi di atas:
    • Jika kedua pernyataan sama (B) dan (B) akan bernilai benar (B).
    • Jika kedua pernyataan berbeda maka hasilnya akan salah (S)
    Contoh kalimat terbuka biimplikasi: p: Saya akan pulang kampung q: Saya punya uang p<=>q: Saya akan pulang kampung jika dan hanya jika saya punya uang.
  1. NAND (Not-AND)
    2.  NAND adalah operator logika gabungan dari negasi dan AND.
    pqp ↑ q
    BBT
    BST
    SBT
    SSS
    Berdasarkan tabel kebenaran NAND di atas:
    • Jika salah satu pernyataan benar maka hasilnya akan benar 
    • Jika kedua pernyataan salah maka hasilnya akan salah.
  2. Tabel Kebenaran XOR
    3. XOR adalah operator logika yang juga disebut sebagai exclusive or.
    pqp ⊕ q
    BBS
    BSB
    SBB
    SSS
    Berdasarkan tabel XOR di atas, maka:
    • Jika pernyataan sama maka hasilnya akan salah (S)
    • Jika pernyataan berbeda maka hasilnya akan benar (B)
  3. Tabel Kebenaran NOR
    4. NOR adalah operator logika gabungan dari Not dan OR. Berikut gambar tabel kebenaran NOR.
    pqp ↓ q
    BBF
    BSF
    SBF
    SSB
    Berdasarkan tabel kebenaran NOR maka:
    • Jika kedua pernyataan salah (S) dan (S) maka bernilai benar (B)
    • Jika salah satu pernyataan benar (B) maka hasilnya akan salah (S)
Fungsi dari tabel kebenaran akan ditemukan lebih lanjut dalam mata kuliah teknik elektro atau pun teknik informatika yang akan diterapkan pada gerbang logika dan rangkaian elektronika digital.

Contoh Soal Pembuktian Ekuivalensi dan Tabel Kebenaran


Untuk lebih jelasnya, kamu bisa mlihat contoh-contoh soal tabel kebenaran dan jawabannya di bawah ini. Soal tabel kebenaran ini beberapa saya lihat dalam teknik elektro dan teknik informatika dalam logika informatika.

1. Buatlah tabel kebenaran p q r s sebagai tabel 4 variabel!

Jawaban:

Seperti penjelasan pada bagian awal di atas, kita mengenal rumus 2x sehingga untuk membuat tabel p q r dan s yang adalah variabel, kita menggunakan rumus 24 = 16 sehingga kita membuat 16 baris dan membagi inputan B dan S sama rata di setiap variabelnya dengan urutan yang tetap. Perhatikan jawabannya di gambar berikut.

Tabel Kebenaran p q r s

p
q
r
s
B
B
B
B
B
B
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
B
S
B
B
B
S
B
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
B
B
B
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S

2. Buatlah tabel kebenaran dari

a. p ∧ q
b. q v r
c. (p ∧ q ) => (q v r)
d. (p ∧ q ) => ~r
e. q <=> ~r

Langsung saja, berikut jawabannya!


p
q
r
~r
p ∧ q
q v r
(p ∧ q ) => (q v r)
(p ∧ q ) => ~r
q <=> ~r
B
B
B
S
B
B
B
S
S
B
B
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
S

3. Buktikanlah dengan tabel kebenaran apakah (p ∧ q ) => (q v r) bersifat tautologi!

Langsung saja, kita mulai dari membuat tabel kebenaran 3 variabel, yaitu p q r.

p
q
r
p ∧ q
q v r
(p ∧ q ) => (q v r)
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
B
B
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
S
S
S
B

Tabel kebenaran tautologi, kontradiksi, konvers, invers dan kontraposisi akan dibahas dalam materi terakhir kita tentang logika matematika dalam judul artikel ekuivalensi.

4. Buktikanlah dengan tabel kebenaran apakah benar p => q ≡ ~p ∨ q

Pertama kita buat dulu tabel kebenaran 2 variabel untuk p dan q. Setelah itu, ktia buat kolom untuk ~p. Setelah itu kita buat p v q. Setelah itu, kita buat yang terakhir ~p => q. Ingat bahwa implikasi tidak memiliki sifat ekuivalensi sehingga tidak bisa dibalik-balik seperti operator logika lainnya.

Karena itu, kamu harus mencocokan dari ~p ke q. Jangan sebaliknya dari q ke ~p karena hasilnya akan berbeda. Ingat ~p=>q, artinya ~p menunjuk ke q. Itulah implikasi.

p
q
~p
p v q
~p => q
B
B
S
B
B
B
S
S
B
B
S
B
B
B
B
S
S
B
S
S

Berdasarkan hasil pencarian di atas, terbukti bahwa p => q ≡ ~p ∨ q benar-benar ekuivalen.

Itulah contoh soal tabel kebenaran dari logika matematika yang sudah mewakili semuanya. Untuk materi ekuivalenis, kita akan bahas lebih lanjut yang juga meliput sifat-sifat ekuivalensi seperti tautologi, kontradiksi dan kontingen.

Sampai di sini saja tentang tabel kebenaran. Silahkan kamu lanjutkan materi ini ke materi elektronika digital pada gerbang logika. Di situ kamu akan belajar tentang pemrograman dan betapa pentingnya aljabar boolean ini dalam membuat rangkaian listrik dalam teknik elektro ataupun dalam membuat program aplikasi dalam teknik informatika.

Demikianlah materi tentang tabel kebenaran logika matematika: contoh negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, XOR, NOR, NAND, lengkap dengan gambar tabel kebenarannya. Semoga bermanfaat!
Posting Komentar